运算检验为数学运算护航以圆锥曲线单元复习课

《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《新课标》)提出了高中数学六大核心素养，数学运算是其中一个核心素养.在日常课堂教学中，广大教师常会遇到这样一个问题：一些有难度的压轴题(如解析几何题、函数导数综合题等)，好不容易算出一个结果，却不知道这个结果是否正确.

2019年10月30日—11月1日，第3届浙江省高中数学尖峰教育论坛“问题链与数学核心素养”活动在笔者所在学校举行.期间笔者开设了一节研讨课“圆锥曲线单元复习课之检验篇”，通过问题链的设计，寻求自我检查的策略与方法，树立运算检验的意识，回归数学核心素养落地的初衷.现把课堂实录、反思感悟记录成文，与同行们分享.

1 课堂简录

1.1 倾听困惑，用心引入

师：我们知道解析几何是用代数的方法解决几何问题，代数方法有其严谨性的特点，同时也带给我们很多困难，同学们对此有什么感受？

生(众)：运算繁、过程长，最关键(最痛苦)的是不知道运算结果对不对.

师：同学们遇到了数学运算的“坎”，对吧？数学运算贯穿整个数学学习过程，它是我们高中数学六大核心素养之一，这是一个绕不过去的“坎”.这节课我们一起来探讨和解决这方面的问题,先从一个熟悉的问题开始……

设计意图教师倾听学生的内心想法，让学生把遇到的困惑说出来，并带领学生想策略、找办法、攻难关.

图1

1.2 典例引入，问题延伸

引例如图1，设抛物线C：y2=2px(其中p>0)的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于点A,B．若直线AB的斜率为k，则|AB|=______．

师：这是圆锥曲线单元学习中的一个典型问题——直线与抛物线相交求弦长，请同学们来交流一下解题思路.

生1：因为直线AB过焦点F，所以线段AB的长度就是焦点弦.利用抛物线的定义可得

只需求出x1+x2.设直线AB的方程为代入抛物线方程，消去y，得然后整理得到关于x的一元二次方程，利用Δ>0和韦达定理即得x1+x2,x1x2的表达式,进而求得|AB|的值.

师：很好！生1将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再联立方程消元得到一元二次方程,利用韦达定理得到x1+x2，然后直接计算得到|AB|的值.还有其他方法吗？

生2：结合生1的方法得x1+x2,x1x2的表达式，然后用弦长公式计算.设A(x1,y1)，B(x2,y2),则将x1+x2,x1x2的表达式代入即可.

师：以上两位同学分享了自己的解题思路，都非常棒！

设计意图让学生对一个典型问题进行思考、分享方法，通过总结策略并强化方法，让学生在思想上引起重视，同时为后面的例2埋下伏笔.

师：甲、乙、丙、丁4位同学得到了以下4个答案，有且仅有一个是对的，请快速选择：

生(齐声回答)：选D.

师：为什么？

生3(环顾四周)：算出来的，身边的几位同学答案和我的一样.

师：对的，大家算出来都一样，大大增加了“正确”的可能性.多次重复计算结果都一致，大大降低了出错的可能性，但也付出了沉重的时间和精力代价.其实这个题目可以快速求解，大家都知道，抛物线中p的几何意义是焦点到准线的距离.在物理学中，p是距离，有长度单位，从单位的视角看选项A，左边的单位是厘米，右边的单位是厘米的平方，故排除选项A.再看选项B，C，D，没法排除,那么选项B，C，D该如何选择呢？

生4：取k=0可排除选项C，取k=-1可排除选项B.

师：从对称的视角看选项B，画两条关于x轴对称的直线，若斜率k满足条件，则斜率-k也满足条件，因此|AB|=f(k)应该是偶函数，故可排除选项B；从趋势的视角看选项C，当k→0时，|AB|→+∞，故可排除选项C.

(学生一片“哇”的声音，感叹解法之妙!不少学生小声议论：“趋势的视角，其实我也想到了.”)

师：通过上面3个视角，可以快速检验结果的正确性.现在我们一起将检验方法进行总结、归纳.

正确性检验方法1)看单位——量纲检验法；2)看对称——对称检验法；3)看趋势——趋势检验法.

师：事实上，我们常用的检验方法还有……

正确性检验方法的补充4)重做一遍——重复检验法；5)换个角度——另解检验法；6)取个特例——特例检验法；7)研究边界——边界检验法；等等.

设计意图通过对引例中学生解答结果正确与否的不确定性，编制一道选择题，让学生小题小做，达到快、准的目的，并一边分析选项一边总结方法，初步形成检验的意识和方法.

文章来源：《临床检验杂志》 网址: http://www.lcjyzzzz.cn/qikandaodu/2021/0708/646.html